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\newcommand{\weiyuan}[1]{\ensuremath{\mathrm{d}} #1}
\newcommand{\daoshu}[2]{\frac{\weiyuan{#1}}{\weiyuan{#2}}}
\newcommand{\vct}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\mat}[1]{\boldsymbol{#1}}
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\begin{document}
\section{求和符号浅谈}
求和符号 $\sum$ 被广泛应用在数学领域，但对于其使用很多时候是模糊的，我们简单谈论一下。
\subsection{上下标明确的情况}
这种情况下求和表述为 $\sum_{k=s}^t a_k$，或者
$$\sum_{k=s}^t a_k$$
其中 $a_k$ 是一个和 $k$ 相关的量——可以显性相关，比如 $a_k=2k-1$ ，也可以隐性相关，比如 $a_k$ 表示班级内学号为 $k$ 的同学的身高，甚至可以混合起来（比如表示班级内学号为 $k$ 的同学的身高与 $k$ 的乘积）乃至“不相关”（$a_k=\text{常数}$），但只要对于每一个可以取到的 $k$，都有明确且唯一的 $a_k$ 与之对应——或者说，$a_k$ 是关于 $k$ 的函数，那么求和式的定义就是明确的。它的计算可以被视为如下过程：
\begin{enumerate}
    \item 将变量 $k$ 置为下界 $s$ ，并定义一个变量 $s$，初始为 $0$；
    \item 计算 $a_k$ ，并将 $a_k$ 的值加入 $s$ 中（$s\leftarrow s+a_k$），然后令 $k$ 增加 $1$；
    \item 判断是否满足 $k>b$ ，满足则将 $s$ 的值作为求和式的结果，否则返回第二步重复执行.
\end{enumerate}
不难看出，这种情况要求 $s$ 和 $t$ 都是整数，且 $s\leq t$.
有时 $s$ 或者 $t$ 会取正负无穷大，这种时候可以视为将上述计算步骤重复无穷多次，然后观察 $s$ 是否逐步逼近一个确定的值，并将该值作为求和的讨论。关于无穷数列求和（级数求和）的讨论不是这里的重点，略去不提——在实践中关于它的严格计算或证明并不常见（对于目前阶段而言）。
\subsection{下标为条件的情况}
这种情况下通常没有上标，而下标可以包含若干等式、不等式、属于集合、不属于集合等信息——或者说，下标是一个包含变量的命题 $p(k)$ ，其中 $k$ 的值变化可以令该命题为真或者为假。我们记令命题为真的 $k$ 的集合为 $S$（它有一个独立的名字，叫成真指派），那么求和式$\sum_{p(k)} a_k$的值记为对 $S$ 中每个元素 $k$ 都计算对应的 $a_k$ 然后累加；多变量则需要计算每一组可行的变量组对应的值，然后累加，比如：
$$\sum_{1\leq k\leq 3,k\in N^*} a_k=a_1+a_2+a_3$$
$$\sum_{x\geq 0,y\geq 0,x+y<2,x,y\in N^*} a_{xy}=a_{00}+a_{01}+a_{10}$$
$$\sum_{x\geq 0,y\geq 0,x+y\leq 2,x,y\in N^*} a_{xy}=a_{00}+a_{01}+a_{02}+a_{10}+a_{11}+a_{20}$$

需要指出的是，有时候下标变量为整数并不会明确写出，需要通过上下文来判断。
\subsection{微元法的情况}
这种情况下一般会出现类似于 $\Delta x$ 、$\weiyuan{x}$ 这种符号，有时会出现上下限，有时不会，这种情况理解把求和号理解为积分符号即可——或者也可以用面积来理解：对于 $\sum_{x=s}^t f(x) \Delta x$ ，可以先画出 $f(x)$ 的图像，然后求图像与 $x$ 轴之间的有向面积（坐标轴之上为正，之下为负）。可以容易发现两种理解是等价的。\\
求$\sum_{x=-1}^1 \sqrt{r^2-x^2} \weiyuan{x}$，可以观察函数图像，发现所求面积恰好是一个半圆，利用圆面积公式容易得到 $\sum_{x=-1}^1 \sqrt{r^2-x^2} \weiyuan{x}=\frac{1}{2}\pi r^2$
\section{线性代数初步}
线性代数本身是一个庞大且复杂的学科，其包含的内容博大精深，但幸运的是在目前阶段，只需要了解一点点基本的概念，并能够对一些低维度的情况进行处理即可。
\subsection{矩阵}
矩阵是将若干个数（实际上群论都可以，但目前你不需要知道这些）按一定规则排列的结果，一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵 $\mat{A}$ 可以写成如下形式：
$$\mat{A}=\left[\begin{array}{cccc}
    A_{11} & A_{12} & \cdots  & A_{1m}\\
    A_{21} & A_{22} & \cdots  & A_{2m}\\
    \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots\\
    A_{n1} & A_{n2} & \cdots  & A_{nm}
\end{array}\right]$$
比如下面就是一个 $2$ 行 $2$ 列的矩阵：
$$\begin{pmatrix}
    1 & 1\\
    2 & 3
\end{pmatrix}$$
可以用方括号，也可以用圆括号来写，二者没有区别；在目前阶段，我们只需要关注 $n$ 和 $m$ 是已知且很小的情况——且很多时候我们只关注向量和方阵，更一般的情况暂时还用不到。
\subsection{矩阵乘法}
矩阵的加减法、数乘比较简单，请自行查阅资料，这里从略了。

矩阵乘法首先要求两个矩阵是可以相乘的；矩阵 $\mat{A}$ 和矩阵 $\mat{B}$ 是可以相乘的，当且仅当 $\mat{A}$ 的列数与 $\mat{B}$ 的行数相等；若矩阵 $\mat{A}$ 有 $N$ 行 $M$ 列，矩阵 $\mat{B}$ 有 $M$ 行 $K$ 列，若矩阵 $\mat{C}$ 为矩阵 $\mat{A}$ 与矩阵 $\mat{B}$ 相乘的结果（记为 $\mat{C}=\mat{A}\mat{B}$），则 $C$ 为 $N$ 行 $K$ 列，且满足 $\mat{C}$ 的第 $i$ 行，第 $j$ 列的元素：
$$C_{ij}=\sum_{k=1}^M A_{ik} B_{kj}$$
需要指出的是，矩阵乘法只满足结合律：
$$(\mat{A}\mat{B})\mat{C}=\mat{A}(\mat{B}\mat{C})$$
而不满足交换律：
$$\mat{A}\mat{B}\neq \mat{B}\mat{A}$$
事实上 $\mat{B}\mat{A}$ 可能因为行列不符合要求而根本不存在——即使存在也不一定相等，在大多数情况下都不相等。
\subsection{向量}
在线性代数中，向量（或者矢量）被表述为一个特殊的矩阵——它的列数为 $1$ ，行数则可以有很多行；这样的向量被称为列向量（相应的还有行向量，但用的不多）。列向量和你一般认识的向量是等价的，其具有相同的性质；但一般高维向量不会去定义外积（叉积）。\\
$$\begin{pmatrix}
    1 \\ 2
\end{pmatrix}$$ 就是一个 $2$ 维列向量，它和用坐标的写法 $(2,1)$ 是一致的；三维空间的坐标轴单位向量可以表示为：
$$\vct{e}_x=\begin{pmatrix}
    1\\0\\0
\end{pmatrix},\vct{e}_y=\begin{pmatrix}
    0\\1\\0
\end{pmatrix},\vct{e}_z=\begin{pmatrix}
    0\\0\\1
\end{pmatrix}$$
\subsection{洛伦兹坐标变换}
对于一个事件，其核心要素包括事件和位置矢量，它们被整理为了一个矢量（四维矢量）：
$$\begin{pmatrix}
    ct\\x\\y\\z
\end{pmatrix}$$
其中时间被乘上了真空中光速 $c$，来使得量纲相同。若 S' 系相对于 S 系在 $x$ 轴正方向有速度 $v$，记 $\beta=\frac{v}{c},\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$，那么根据洛伦兹坐标变换，有：
$$x'=\gamma(x-\beta ct),y'=y,z'=z,ct'=\gamma(ct-\beta x)$$
写成矩阵形式有：
$$\begin{pmatrix}
    ct'\\x'\\y'\\z'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    \gamma & -\gamma\beta &0 &0 \\
    -\gamma\beta &\gamma &0 &0 \\
    0&0&1&0\\
    0&0&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    ct\\x\\y\\z
\end{pmatrix}$$
上述矩阵即被称为洛伦兹变换矩阵；将负号去掉记为逆变换矩阵.\\
如果将速度除下来，可以得到洛伦兹速度变换：
$$u_x'=\frac{v-u_x}{1+\frac{vu_x}{c^2}},u_y'=u_y,u_z'=u_z$$
\section{四动量矢量及其应用}
类似于我们将时间乘上光速来配平量纲，我们也可以针对物体，利用能量构造出类似的东西：
$$\begin{pmatrix}
    \frac{E}{c} i\\
    p_x\\
    p_y\\
    p_z
\end{pmatrix}$$
其中 $i$ 为虚数单位，$i^2=-1$；在一些更进的设计中引入了符号法则，取消了虚数的使用，这里暂不提；\\
我们观察这个向量，计算它的模长，会发现：
$$\begin{pmatrix}
    \frac{E}{c} i\\
    p_x\\
    p_y\\
    p_z
\end{pmatrix}^2 =p^2-\frac{E^2}{c^2}=-m_0^2c^2$$
上式利用了相对论动量能量关系$E^2=(m_0c^2)^2+p^2c^2$；这说明这个量仅和静质量有关，是跨坐标系不变的——也就是可以在质心系中计算。
\subsection*{例题——36届复赛第六题第一问}
题目从略了，这里只演示解答：记 $\pi$ 介子的四维矢量为 $\vct{P}_1$，$\mu$ 子为 $\vct{P}_2$，反中微子为 $\vct{P}_3$，动量守恒和能量守恒可以合并写为：
$$\vct{P}_1=\vct{P}_2+\vct{P}_3$$
将 $\vct{P}_2$ 移项后两边平方，得到：
$$m_\pi^2c^2+2\vct{P}_1\cdot\vct{P}_2+m_\mu^2c^2=0$$
即：
$$E_\mu E_\pi-p_\mu p_\pi c^2=\frac{1}{2}\left(m_\pi^2c^4+m_\mu^2c^4\right)$$
故：
$$E_\mu=\frac{1}{2E_\pi}\left(2p_\mu p_\pi c^2+m_\pi^2c^4+m_\mu^2c^4\right)$$
代入 $E_\mu^2=(m_\mu c^2)^2+p_\mu^2c^2$，得到：
$$\left(\frac{p_\pi^2 c^2}{E_\pi^2}-1\right)p_\mu^2+\frac{p_\pi(m_\pi^2+m_\mu^2)c^4}{E_\pi^2}p_\mu+\frac{(m_\pi^2+m_\mu^2)^2c^6-4m_\pi^2m_\mu^2c^6-4p_\pi^2m_\mu^2c^4}{4E_\pi^2}=0$$
即：
$$-m_\pi^2 p_\mu^2+\left((m_\pi^2+m_\mu^2)p_\pi\right)p_\mu+\frac{1}{4}(m_\pi^2+m_\mu^2)^2c^2-m_\pi^2m_\mu^2c^2-p_\pi^2m_\mu^2=0$$
一元二次方程两个解分别对应最大和最小速度：
$$p_{\mu}=\frac{(m_\pi^2+m_\mu^2)p_\pi\pm(m_\pi^2-m_\mu^2)\sqrt{p_\pi^2+m_\pi^2c^2}}{2m_\pi^2}$$
代入 $p_\pi=\frac{m_\pi v}{\sqrt{1+\frac{v^2}{c^2}}}$，得到：
$$p_\mu=\frac{(m_\pi^2+m_\mu^2)v\pm(m_\pi^2-m_\mu^2)\sqrt{2v^2+c^2}}{2m_\pi\sqrt{1+\frac{v^2}{c^2}}}$$
分别计算对应的 $p_\mu$ ，并用 $p_\mu=\frac{m_\mu u}{1+\frac{u^2}{c^2}}$ 即可解得，最大速度为 $0.980c$，最小为 $0.940c$ .

四维矢量的计算总体上就是要求哪个东西，就把他移项，然后平方；不建议在复赛的时候写在纸面上，可以先用传统的方法把方程列出来，然后解之得——你用四维矢量算出来的东西。另外该计算仅为演示，实际算的时候由于已经给出了值，你可以在中间过程就把值代入进去来简化化简过程。

最后一个技巧就是在面对不会的小问，而下一问需要依靠上一问的结果时，你可以直接把上一问的结果用特定字母表示出来并说明清楚，然后正常做，最后下一问一般只扣答案分（2-4分）.
\end{document}
